高等数学(一)试卷及答案

发布日期:2018-05-24 编辑整理:山东自考网 【字体: 】  【加入自考交流群】



  

  一、填空题(每小题1分,共10分)

                       _________           1

   1.函数y=arcsin√1-x2    +  ──────  的定义域为_______________。

                                              _________

                                            √1- x2

 

   2.函数y=x+ex  上点( 0,1 )处的切线方程是______________。



                                                    f(Xo+2h)-f(Xo-3h)

   3.设f(X)在Xo可导且f'(Xo)=A,则lim ───────────────  =___。

                                            h→o                  h



  4.设曲线过(0,1),且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是___。



            x

  5.∫─────dx=_____________。

          1-x4



                       1

  6.lim Xsin───=___________。

        x→∞           X



  7.设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。



                         _______

                R       √R2-x2

  8.累次积分∫ dx  ∫       f(X2 + Y2  )dy 化为极坐标下的累次积分为_______。

                0        0



                d3y     3    d2y

  9.微分方程─── + ──(─── )2  的阶数为____________。

                dx3     x    dx2



                ∞                  ∞

  10.设级数 ∑  an发散,则级数 ∑ an  _______________。

                n=1                n=1000



  二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题
1分,11~20每小题2分,共30分)



  (一)每小题1分,共10分



                         1

    1.设函数f(x)=──  ,g(x)=1-x,则f[g(x)]= ( )

                         x



              1                 1                1

      ①1- ──        ②1+ ──         ③ ────        ④x

              x                 x             1- x



                           1

    2.x→0 时,xsin──+1 是  ( )

                           x



      ①无穷大量         ②无穷小量          ③有界变量         ④无界变量



    3.下列说法正确的是  ( )



      ①若f( X )在 X=Xo连续,  则f( X )在X=Xo可导

      ②若f( X )在 X=Xo不可导,则f( X )在X=Xo不连续

      ③若f( X )在 X=Xo不可微,则f( X )在X=Xo极限不存在

      ④若f( X )在 X=Xo不连续,则f( X )在X=Xo不可导



    4.若在区间(a,b)内恒有f'(x)〈0,f"(x)〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为( )



      ①上升的凸弧        ②下降的凸弧      ③上升的凹弧      ④下降的凹弧



     5.设F'(x)  =  G'(x),则 ( )



      ① F(X)+G(X) 为常数

      ② F(X)-G(X) 为常数

      ③ F(X)-G(X) =0

           d                     d

      ④ ──∫F(x)dx  = ──∫G(x)dx

         dx                   dx



           1

      6.∫ │x│dx  = ( )

          -1



       ① 0       ② 1       ③ 2       ④ 3



      7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( )



       ①平行于xoy面的平面

       ②平行于oz轴的平面

       ③过oz轴的平面

       ④直线



                                                  x

      8.设f(x,y)=x
3 + y3 + x2 ytg── ,则f(tx,ty)=  ( )

                                                  y



                                                                        1

       ①tf(x,y)    ②t2f(x,y)    ③t3f(x,y)  ④  ──f(x,y)

                                                                        t2



                                 an+1               ∞

      9.设an≥0,且lim  ───── =p,则级数 ∑an   ( )

                        n→∞      a                  n=1



       ①在p〉1时收敛,p〈1时发散

       ②在p≥1时收敛,p〈1时发散

       ③在p≤1时收敛,p〉1时发散

       ④在p〈1时收敛,p〉1时发散



     10.方程 y'+3xy=6x2y 是   ( )



       ①一阶线性非齐次微分方程

       ②齐次微分方程

       ③可分离变量的微分方程

       ④二阶微分方程



    (二)每小题2分,共20分



     11.下列函数中为偶函数的是   ( )



       ①y=ex          ②y=x3+1          ③y=x3cosx     ④y=ln│x│



     12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点ζ∈(a,b)使 ( )



       ①f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)

       ②f(b)-f(a)=f'(ζ)(x2-x1)

       ③f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(b-a)

       ④f(x2)-f(x1)=f'(ζ)(x2-x1)



     13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的    ( )



       ①充分必要的条件

       ②必要非充分的条件

       ③必要且充分的条件

       ④既非必要又非充分的条件



                                   d

     14.设2f(x)cosx=──[f(x)]2 ,则f(0)=1,则f(x)=    ( )

                                 dx



       ①cosx          ②2-cosx          ③1+sinx        ④1-sinx



     15.过点(1,2)且切线斜率为 4x3 的曲线方程为y=  ( )



        ①x4               ②x4+c               ③x4+1             ④x4-1



                   1    x

     16.lim ─── ∫ 3tgt2dt=  ( )

            x→0    x3   0



                                                       1

        ① 0               ② 1                   ③ ──               ④ ∞

                                                       3



                               xy

     17.lim xysin ─────  = ( )

            x→0              x2+y2

            y→0

 

         ① 0              ②  1                  ③  ∞                ④  sin1



     18.对微分方程 y"=f(y,y'),降阶的方法是   ( )



        ① 设y'=p,则 y"=p'

                                dp

        ② 设y'=p,则 y"= ───       

                                dy

                                 dp

        ③ 设y'=p,则 y"=p───

                                 dy

                               1    dp

        ④ 设y'=p,则 y"=──  ───

                               p    dy



                     ∞                                ∞

      19.设幂级数 ∑ ann在xo(xo≠0)收敛, 则 ∑ ann 在│x│〈│xo│ ( )

                    n=o                               n=o



        ①绝对收敛          ②条件收敛             ③发散            ④收敛性与an有关



                                                  sinx

      20.设D域由y=x,y=x2所围成,则∫∫ ─────dσ=   ( )

                                              D       x



             1       1  sinx

         ① ∫ dx ∫ ───── dy

             0       x     x

                     __

             1     √y   sinx

         ② ∫ dy ∫  ─────dx

             0       y      x

                     __

             1     √x   sinx

         ③ ∫ dx ∫  ─────dy

             0       x      x

                     __

             1     √x   sinx

         ④ ∫ dy ∫  ─────dx

             0       x      x



  三、计算题(每小题5分,共45分)



                      ___________

                    / x-1

      1.设 y= / ──────      求  y'  。

                √   x(x+3)



                     sin(9x2-16)

      2.求 lim  ───────────  。

             x→4/3         3x-4



                      dx

      3.计算 ∫ ───────  。

                  (1+ex2



               t                                   1                                 dy

   4.设x= ∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求───  

               0                                   t                                 dx



      5.求过点 A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。



                        ___

      6.设 u=ex+√y +sinz,求  du  。



                x  asinθ

      7.计算 ∫  ∫    rsinθdrdθ  。

                0   0

                               y+1

      8.求微分方程 dy=( ──── )2dx 通解  。

                               x+1



                                3

      9.将 f(x)= ───────── 展成的幂级数  。

                       (1-x)(2+x)



  四、应用和证明题(共15分)



  1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度( 比例常数为k〉0 )
求速度与时间的关系。



                                                         ___         1

  2.(7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x  〉3- ──  。

                                                                     x

 

  附:高等数学(一)答案和评分标准



  一、填空题(每小题1分,共10分)



    1.(-1,1)



    2.2x-y+1=0



    3.5A



    4.y=x2+1



         1

    5.──arctgx2+c

         2



    6.1



    7.ycos(xy)



       π/2     π

    8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr

         0       0



    9.三阶



    10.发散



  二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题
1分,11~20每小题2分,共30分)



  (一)每小题1分,共10分



     1.③          2.③          3.④          4.④          5.②



     6.②          7.②          8.⑤          9.④        10.③





  (二)每小题2分,共20分



   11.④        12.④        13.⑤        14.③        15.③



   16.②        17.①        18.③        19.①        20.②



三、计算题(每小题5分,共45分)



                      1

     1.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)]    (2分)

                      2

               1       1      1      1      1

              ──y'=──(────-──-────)      (2分)

               y       2    x-1    x    x+3

                             __________

                    1     / x-1        1      1      1

              y'=──  /──────(────-──-────)    (1分)

                    2 √  x(x+3)   x-1    x    x+3



                          18xcos(9x2-16)

     2.解:原式=lim ────────────────          (3分)

                  x→4/3                3

                    18(4/3)cos[9(4/3)2-16]

                = ────────────────────── =8    (2分)

                                      3



                      1+ex-ex

     3.解:原式=∫───────dx    (2分)

                      (1+ex2

                        dx        d(1+ex)

                 =∫─────-∫───────      (1分)

                      1+ex       (1+ex2

                      1+ex-ex             1

                 =∫───────dx + ─────      (1分)

                        1+ex             1+ex

                                             1

                 =x-ln(1+ex)+ ───── + c      (1分)

                                          1+ex



  4.解:因为dx=(cost)arctgtdt,
             dy=-(sint)arctgtdt(3分)

                    dy      -(sint)arctgtdt

              所以 ─── = ──────────────── = -tgt    (2分)

                    dx      (cost)arctgtdt



      5.解:所求直线的方向数为{1,0,-3}      (3分)

                              x-1    y-1    z-2

              所求直线方程为 ────=────=────      (2分)

                                1        0       -3

                          __               __

      6.解:du=ex +√y  + sinzd(x+√y +sinx)      (3分)

                            __                                   dy

                  =ex + √y  + sinz[(1+cosx)dx+ ─────]    (2分)

                                                                  ___

                                                              2√y

                       π            asinθ         1      π

      7.解:原积分=∫ sinθdθ ∫  rdr= ──a2 ∫ sin3θdθ    (3分)

                       0               0            2      0

                          π/2                 2

                    =a2  ∫ sin3θdθ = ── a2      (2分)

                            0                  3

                                           dy         dx

      8.解:两边同除以(y+1)2 得 ──────=──────    (2分)

                                       (1+y)2   (1+x)2

                            dy              dx

             两边积分得 ∫──────=∫──────        (1分)

                          (1+y)2     (1+x)2

                               1          1

             亦即所求通解为 ──── - ──── =c      (2分)

                             1+x      1+y



                                   1          1

      9.解:分解,得f(x)=──── + ────        (1分)

                                 1-x      2+x

                                   1        1       1

                              =──── + ──  ─────    (1分)

                                 1-x      2         x

                                                   1+──

                                                        2

                 ∞         1  ∞          xn                    x

               =∑ xn + ── ∑ (-1)n──  ( │x│〈1且│──│〈1 )(2分)

                 n=0        2  n=0         2n                    2

                     ∞                   1

                   =∑ [1+(-1)n ───]xn    ( │x│〈1)      (2分)

                     n=0                2n+1



  四、应用和证明题(共15分)



                                    du

    1.解:设速度为u,则u满足m=──=mg-ku    (3分)

                                    dt

                         1

            解方程得u=──(mg-ce-kt/m)    (3分)

                         k

                                      mg

            由u│t=0=0定出c,得u=──(1-e-kt/m)    (2分)

                                       k



                            __     1

    2.证:令f(x)=2√x + ── - 3 则f(x)在区间[1,+∞]连续  (2分)

                                   x

                                         1      1

            而且当x〉1时,f'(x)= ── - ── 〉0      (2分)

                                         __     x2

                                       √x

            因此f(x)在[1,+∞]单调增加       (1分)

            从而当x〉1时,f(x)〉f(1)=0   (1分)

                              ___         1

            即当x〉1时,2√x  〉3- ──        (1分)

                                          x

  

 

本文标签:山东自考 历年真题 高等数学(一)试卷及答案

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